数学関連の話題や日々の出来事で思ったことを日記につづってみる。
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複素トーラスの射影空間内での定義方程式~Part 1-2~
2008/04/10
複素トーラスの射影空間内での定義方程式~Part 1-1~
2008/04/06
Jacobiの公式
2008/04/03
テータ関数の加法公式~Part 1-2~
2008/03/30
テータ関数の加法公式~Part 1-1~
2008/03/27
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■■■複素トーラスの射影空間内での定義方程式~Part 1-2~
2008/04/10 Thuテータ関数
ベズーの定理の前に取りこぼしていた命題を片付けます。

4-10-1.gif

とし、射影空間の超平面を
4-10-2.gif

とする。

4-10-0.gif

射影空間 4-10-3.gif において4-10-4.gif は重複をこめて 4-10-5.gif である。

命題の直感的なイメージとしては埋め込んだトーラスを超平面で切ると
4-10-5.gif 個の点からなっているということです。

では、証明していきます。

4-10-6.gif4-10-7.gif となるための必要十分条件は

4-108.gif

であるから

4-10-9.gif

とおくと 4-10-10.gif である。従って

4-10-11.gif

である。すなわちこれは周期平行四辺形 4-10-12.gif 内の零点の個数に等しいから

4-10-13.gifは重複をこめて 4-10-5.gif 個である。

この命題は梅村先生の本の命題 3.9です。どこで使ったっけ?と思って飛ばしてしまいました。
記号や議論を忘れてしまった方は過去の記事のトーラスを埋め込んだあたりを読み返して
見てください^^;

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■■■複素トーラスの射影空間内での定義方程式~Part 1-1~
2008/04/06 Sunテータ関数
さて、以前証明した複素トーラスの埋め込み写像で 4-6-1.gif の場合、すなわち、

4-6-2.gif

を考える。

4-6-3.gif

であった。ここで前回導出した公式に 4-6-0.gif を代入すると

4-6-4.gif

が成り立つ。これは

4-6-5.gif



4-6-6.gif

を満たす、すなわち

4-6-7.gif4-6-8.gif の2つの2次曲面

4-6-9.gif

上にある。

あとはこの方程式が複素トーラスの定義方程式になっていることを言えばいいが
1つ証明していなかった命題があるので次はそれを証明してから先に進むことにします。

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■■■Jacobiの公式
2008/04/03 Thuテータ関数
さて、前回は必要な分だけではありますがテータ関数の加法公式を導きました。

そのテータ関数の加法公式(A1)から(A3)をさらに 4-3-1.gif と特殊化すると

4-3-2.gif

が得られる。(A1)から(A3)のどれを特殊化しても同じ式が得られます。

さらに(A10)も同じように 4-3-1.gif と特殊化してやると

4-3-3.gif

が得られ、従って

4-3-4.gif

が成り立つ。

(A1)から(A3)を特殊化した式に 4-3-6.gif を代入するとJacobiの公式と呼ばれる等式

4-3-5.gif

が得られる。

短めですが今日はキリがいいのでここまでにしておきます。
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■■■テータ関数の加法公式~Part 1-2~
2008/03/30 Sunテータ関数
テータ関数の加法公式の続き。

前回と同じ計算で導出できるので今日は細かい計算は省略します。

(R2)を 3-30-3.gif と特殊化して前回の(R4)を特殊化した式を用いれば

3-30-1.gif

を得る。

同様に(R3)を 3-30-3.gif と特殊化して(R4)を特殊化した式と用いれば

3-30-2.gif

が得られる。

本では(A4)も導出していますが、使わないのでここではいったん省略します。

次に(R14)と(R15)を 3-30-3.gif と特殊化してやると

3-30-4.gif

を得られる。

次回はJacobiの公式を証明して、目標である複素トーラスの定義方程式を求めていきます。
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■■■テータ関数の加法公式~Part 1-1~
2008/03/27 Thuテータ関数
Riemannのテータ関係式を特殊化してテータ関数の加法公式を導いていきたいと思います。

加法公式も16個あるのですが、ひとまずの目的は射影空間に埋め込んだ複素トーラスの
定義方程式を求めることなのでその部分に使う 3つを導いていきたいと思います。
(本ではA4まで出てきていますが この節ではA4からは0=0という自明な式しか出てこないので
A4は省略します。)

さて、Riemannのテータ関係式(R4)を 3-27-1.gif と特殊化すると
3-27-2.gif となるから(R4)の右辺は 0 になる。
従って特殊化してやった結果は

3-27-3.gif

となるので

3-27-4.gif

が成り立つ。

次に(R1)を同様に 3-27-1.gif と特殊化してやると

3-27-5.gif

となる。従って(R4)を特殊化した式より

3-27-6.gif

が成り立つ。

3-27-7.gif と書き直してやれば

3-27-8.gif

となる。これ(これから出てくる類似の公式も含めて)をテータ関数の加法公式と呼ぶ。

計算は記号が複雑に見えますが難しくありません。
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自分用メモに近いかな。

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