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■■■Riemann のテータ関係式~Part 1~
2008/02/10 Sunテータ関数
前回までで複素トーラスを無事に埋め込みました。

Chowの定理により埋め込まれた複素トーラスは同次多項式の零点で
書けるのですが、埋め込んだ複素トーラスがどのような同次多項式で
書けるか、つまり定義方程式を求めてやることが次の目標です。

そのためにこのセクションでやるRiemannのテータ関係式が必要です。

・・・と書いていて今気づいた・・・。セクション一つ飛ばしてる・・・。

梅村先生の本のセクション3.5を飛ばしてしまいましたが、3.5 は後で必要になるので
必要なところにきたら戻ることにします。

それともう一つ、申し訳ないのですがこのセクションの命題の証明は
計算がメインなところが多いです。

途中計算をすべて書くのはちょっと大変ですし、書くスペースも限られているので
途中計算の部分はある程度省略させてください。

では、今日は線型代数の復習・・・。

次の4次正方行列を

2-10-1.gif


とする。このとき
2-10-2.gif

が成り立つ。すなわち、(1/2)A は直交行列である。

次に 2-10-3.gif を変数として

2-10-4.gif


と置く。(1/2)A は直交行列なので内積は変えないから
2-10-5.gif

が成り立つ。

今日は物足りないかも知れないがここまでにしておく。

この行列はなんてことない行列だし上に述べた性質も証明は計算するだけで
別になんてことはない(といったら誤解されてしまうかもしれないが)性質だと
感じます。

ですが、Riemannのテータ関係式においてはこの行列がものすごい威力を発揮し、
とても重要です。

テータ関数の関数等式を作るのにこういった行列を探し出すのはなかなか難しいのでは
ないでしょうか?(僕はやったことないのでわかりませんが)
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