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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう!~Part 3 Step4~
2008/02/04 Monテータ関数
さてさて、埋め込み写像であることも大詰め。
今回は微分が消えていないこと(Jacobi行列がフルランクである)ことを証明していく。
Jacobi行列のランクが落ちているということはその点で特異点である(とがっていると
思ってもらえればいいです。)ということでそういうことが起こってしまう場合は埋め込み
とは言わず、はめ込みと呼ばれます。そのようなことは起きていない、埋め込みだという
主張です。
前回まで出単射性を示しており、はめ込みで
あることは示してあります。


1次元の話なのでタンジェントスペースなどの一般論は隠して進めます。
証明は単射性の証明と同じです。

2-4-1.gif

として、

2-4-2.gif

となるように局所座標を取ってやる。

2-4-3.gif

であるから、この点の座標は

2-4-4.gif

である。

ここで各 2-4-5.gif について
2-4-6.gif

であるとします。(これが本では写像の微分が単射でないとしているところです。)

前回と同様に
2-4-5-1.gif

が複素トーラス上で 2-4-5-2.gif と異なる点であるように
1-27-5.gif

を選んでやる。さらに 1-27-8.gif 個の点1-27-10.gif を選び、
これら 2-1-15.gif 個の点が複素トーラス上で相異なる点であるとする。このとき単射性の証明のときとまったく同様に

2-4-8-1.gif

が存在する。
さて、今
2-4-6.gif

と仮定しているから

2-4-7.gif

である。従って、

2-4-8.gif

が成り立つ。
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