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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう~Part3 Step3~
2008/02/01 Friテータ関数
前回書いてあった

1-27-12.gif

の存在はすぐに確かめられる。 2-1-0.gif2-1-0-2.gif の基底を成すわけだから

2-1-1.gif

と置いておき 2-1-2.gif を未知数とし未知数が 2-1-3.gif個で
方程式の数が 2-1-4.gif
個の連立1次方程式
2-1-5.gif

を考えれば、この方程式は自明でない解
2-1-6-1.gif

をもつ。この 2-1-6-1.gif に対して

2-1-1.gif

としてやればよい。

さて、今
2-1-7.gif

と仮定していたので2-1-8.gif

である。従って、
2-1-5-1.gif

であることに注意すれば
2-1-10.gif

よって

2-1-11.gif

まったく同様にして

2-1-12.gif


2-1-13.gif2-1-14.gif2-1-15.gif 個の零点を持つことになり、Lemma 1に矛盾する。

単射性が示せたので次は微分が消えていないことを示せば埋め込みであることがいえます。
微分が消えていないこともこれと同様に示すのですが、僕は本の証明はよくないと思っています。
確かにこの本では予備知識があることを仮定しているので本の証明でもいいのかも知れませんが、
ここでは複素トーラスを埋め込むことを言っているし1次元なのだからタンジェントスペースや
写像の微分なんていう一般論を持ち出す必要はないと思います。
これでは折角興味を持ってくれても、言葉が通じず読んでもわからないということになってしまいます。

この章で一番面白いところですし・・・。

オリジナルとまではいきませんが、写像の微分を使って書かれているところを
丁寧に書き下してみたので、そちらの証明を次回は書こうと思っています。
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