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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう!~Part2-1~
2008/01/15 Tueテータ関数
研究集会参加などで日があいてしまったが、がんばって進めていこ~!!

前回の予告どおりまずはテータ関数の零点を調べていくところから。

一応複素トーラスについては知っているものとして話を進めていこうと思う。
(知らないという方はこのセクションを飛ばして読んでも大丈夫でしょう)

複素多様体(1次元のものを考えるているのでリーマン面ともいう)のいい例です。

ここで複素トーラスを表す記号を
1-15-1.gif
とします。

まず、次の補題を示す。

1-15-2.gif

1-15-3.gif

とすると

11-11-6.gifは周期平行四辺形1-15-4.gif内に重複を込めて1-15-5.gif個の零点をもつ。

証明はただ単に留数定理の応用。
まず、基本周期平行四辺形1-15-4.gifを取る。
方向をつけた線分
1-15-6.gif
にA、B、C、Dと名前をつけておく。

11-11-6.gifの零点が平行四辺形の上にあるときは少しずらした平行四辺形を考えればよいので零点は基本周期平行四辺形の内部にあるとしてよい。

ここで注意しておくことが一つ。
ずらした平行四辺形を考えればよいことは、まず、1変数正則関数の零点は離散していることと
周期平行四辺形の内部に零点は有限個しかないことからいえている。
周期平行四辺形は周まで含めると有界閉集合であるから点列コンパクト。
従って、もし、零点(離散している)が無限個あるとすると零点からなる点列を考えれば
点列コンパクト性からある収束する部分列が取れて関数の値が 0 になる。
従って、一致の定理から関数が恒等的に 0 となるので仮定に矛盾する。

従って周期平行四辺形の内部と周の上に零点は有限個しかないことがいえるので
少しずらした平行四辺形を考えればよいといっている。

この議論を一言付け加えておいたほうがよいと思う。

長くなったので留数定理を用いて零点の個数を計算するところは次回にまわすことにします。
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