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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう!~Part1~
2008/01/04 Friテータ関数
新年一発目!!新しいセクションに入っていくことにします。

このセクションは、幾何学的な内容ですね。
今日はイントロダクションを少し。

梅村先生の本は結構な量の予備知識を仮定しているのでHeisenberg群のセクションや
このセクションを読むのはなかなか骨が折れますね。

この本の第2章ではWeierstrassのぺー関数という関数を用いて複素トーラスを
射影平面の3次曲線に埋め込んでいます。

なぜ、こんなことをするのかというと、1変数の正則関数の零点は離散していて
扱いは非常に楽ですが、一般に多変数の正則関数の零点は連続体を成していて
特異点などもあり、非常に複雑です。

このセクションを読むにあたり重要な定理としてChowの定理というのがあります。
ステートメントは次の通りです。

「射影空間においてすべての解析的部分集合は代数的部分集合である。」

この定理は射影空間内で有限個の正則関数の共通零点で定義される集合
(位相的に連結閉は仮定します)は
すべて斉次多項式の共通零点で定義される集合だということを主張していて
とても強力な定理です。つまり、射影空間においては考えている正則関数の零点と同値な
ものが実現できればその構造を調べるのは代数幾何の理論でよいわけです。
(代数幾何も難しい分野なので一概に簡単になるとはいえないですが、少なくとも正則関数より多項式のほうが扱いやすいです。)

Chowの定理の証明は準備がかなり大変です。

堀川頴治先生の複素代数幾何学入門の第4章に載っています。
証明にはかなり準備が必要ですが、準備の部分を理解してしまえばChowの定理の証明自体は
それほど難しくありませんし、このセクションで事実として認めているところも補えます。

では、どのようにして複素多様体や解析的部分集合を射影空間に埋め込むかということで
このセクションや第2章のぺー関数による埋め込みはこの定理の具体例になっています。
さらに、もう少し進めて、1次元ではなく高次元の複素トーラス、複素多様体の埋め込みを
どう実現するかということにもつながってきます。

このセクションではテータ関数を用いて複素トーラスを3次元の射影空間へ埋め込みます。
結果としては4次の射影曲線として埋め込まれます。


月曜日から研究集会で一週間お出かけなのでその間更新は出来なくなりますが、
次はまずテータ関数の零点を調べるところから入っていくことにします。

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