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■■■Heisenberg群~part3-3~
2007/12/27 Thuテータ関数
どうにも解決できないHeisenberg群の既約表現。

群論を勉強しとけばよかったなぁ。

ここであまり時間を費やして更新をとめるのも嫌なのでとりあえず不本意だけど

認めることにする。

堀川頴治先生の「複素代数幾何入門」でChowの定理を勉強したので
次のセクションが僕にとっては一番の楽しみにしていたところ。

で、とりあえず既約表現であることを見てみるために表現行列を求めてみた。

11-19-1.gif
の基底には
11-17-10.gif
をとってやる。

すると写像

12-27-1.gif
の表現行列は

12-27-2.gif


12-27-3.gif
となる。

表現行列を表す記号は写像としての記号と同じものを用いた。

次に、Tの表現行列の固有方程式は

12-27-4.gif
であるから固有値は1の原始 l 二乗根である。

固有値 1 に属する固有ベクトルのところがなんとなく気になって調べてみたら

固有ベクトルは

12-27-5.gif
となる。

1次元分しか出てこなくていいのか・・・?。
1に対する固有空間に S を作用させたらどうなるんだ?全体と一致するのかな?

う~~ん、ここまで来てなんだかどうしたらいいのかわからなくなってきた。
表現といっても基底もわかっているわけだから線型代数の話になると思ったんだけどなぁ。
何か勘違いしてるかも・・・。

というわけなので、とりあえずここはいったん認めることにして解決したら追記することに
します。

この節はHeisenberg群の既約表現が11-19-1.gif ということだけでHeisenberg群の特殊性
みたいなものは特に使われていないです。

軽くしか触れられていないので命題に出ているものだけを抑える程度でも十分だと思います。
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