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■■■Heisenberg群~part2~
2007/12/01 Satテータ関数
このまえはHeisenberg群を定義した。

そこでHeisenberg群に対しての命題を2つ挙げておく。

Heisenberg群を G と書くことにしよう(梅村先生の本ではスクリプト体を用いているがここでは
ただ単に G と表記する)

Heisenberg群 G の中心を
12-1-1.gif

と書くことにすれば
12-1-2.gif
である。

G の交換子群を
12-1-3.gif
で書くことにすれば
12-1-4.gif
である。

証明は両方の包含関係を示せばよいが使っている本には書かれていない。

ちょっと今日はこの後忙しいので証明は明日アップしよう。

明日改めて書こうと思うが、この命題の後の記述で
12-1-5.gif
が中心でわった商群となっているが、中心でわったということに意味はあるのかはわからない。

交換子群で割れば確か(最小の?) Abel 群になるから意味はあると思う。
今は中心も交換子群も一致してるからこの意味なのかな?

でも、Heisenberg群の中心がここにあることは知っていたほうが後で助かりそう。

訂正 : 交換子群で割った商群が最小の Abel 群ということではなく、

「商群が Abel 群になる最小の正規部分群が交換子群」

というのが正しい。
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Heisenberg群~Part2-2~ ≪ BACK ≪ HOME ≫ NEXT ≫ 学校見学!!
> 中心でわったということに意味はあるのか
私はここは単に、割った結果が群(商群)になるためには割る部分群が正規でなければならないから、中心(もちろん正規)でわった、と言っているだけだと思いました。

> 交換子群で割れば確か(最小の?) Abel 群になる
これは「最大の」では?
交換子群を真に含む正規部分群があれば、それで割った場合は、交換子群で割った場合よりも小さくなりますね。
2007/12/01 Sat URLcomc#4a9DiVlU [ 編集 ]
コメントありがとうございます。

comcさんのおっしゃるとおり正規部分群で割ったという意味にしか
とれないですね。正規部分群で割ったということ以外では中心という
必要はなさそうです。深読みしすぎました^^;

> (最小の?) Abel 群になる
申し訳ないです。これは完全に僕の勘違いでした。
正しくは

商群が Abel 群になる正規部分群で最小のものは交換子群である

でした。

これが頭の中にあったので中心で割ったというのではなく、交換子群で
割ったということにしたほうがいいのではないかなと思ってしまったのです。

ご指摘ありがとうございます。
2007/12/02 Sun URLFarcon#- [ 編集 ]

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自分用メモに近いかな。

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