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■■■Heizenberg群 Part1-2
2007/11/27 Tueテータ関数
一つの記事に書くと長くなるので分割して書く。

とりあえず今日はHeisenberg群を定義するところまでを書こう。

半径 1 の円周を

11-27-9.gif

と置く。これから
11-27-10.gif
に群構造を入れる。

写像
11-27-11.gif
を考えるとこの写像は単射になる。単射であることの証明は定義に従って計算してやればいい。

簡単にだけ書いておくと、
11-27-12.gif
とすると
11-27-13.gif
であるから
11-27-14.gif
として z=0 を代入した後τ → 0 の極限を考えたりすればc = c'が出てくる。
後は関数を
11-27-15.gif
にとって同様のことを
してやって、さらに z で微分したりして同様のことをしてやれば単射であることは示される。
(極限操作を使っているので少し気持ち悪い気もするが・・・。もちろん他の証明方法もあると思う。)

この写像の像が自己同型群の部分群になっていることが確かめられる。写像の合成を定義に
従ってみてやると
11-27-17.gif
となり積に関して閉じていること、逆元をもつことがわかり部分群であることが示される。

これをρの逆写像で引き戻して群構造が入る。
11-27-10.gif


11-27-18.gif
という積が入り、
この積に関して群を成す。これをHeisenberg群(ハイゼンベルグ群)と呼ぶ。

長くなってしまったが群構造を入れるとこまではそれほど難しくなかった。
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