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■■■指標つきテータ関数で基底を与えるPart2-2
2007/11/24 Satテータ関数
指標つきテータ関数を級数の形に表して標準基底に対応する級数で
表してやると係数が l とびに l 個出てくるところまでわかった。

出てくる係数 l 個を並べたベクトルを考えてやる。(実際は l の二乗の数ベクトル空間の元だが
出てくる l 個の係数以外は 0 になっているので適当に並べ替えて l 次元ベクトル空間の元と
同一視してやってよい。)

11-22-4.gif
であったから、
11-24-1.gif
のとき
11-24-2.gif
の展開の係数
11-24-4.gif
を並べると
11-24-3.gif
である。
11-24-5-1.gif
のときの展開係数を並べると
11-24-6.gif
となり同様にしてベクトル
11-24-7.gif
を得る。

このベクトル
11-24-8.gif
が一次独立であることを示してやればよい。
ここで
11-24-9.gif
と置いてやると
11-24-11.gif
となることがわかる。
ここで11-24-12.gif
は 1 の原始 l 乗根である。
11-24-10.gif
を並べた行列の行列式は
Vandermondeの行列式であり 0 でないので1次独立性が示される。

2ndステップはここまで。教科書ではここで証明が終わっているがもう1ステップ必要。
(それぞれのキャラクタ l 個については言ったが全ての一次独立性はまだ言っていない。)


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