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■■■ある性質を満たす整関数の成すベクトル空間の基底について2
2007/11/12 Monテータ関数
昨日の続き。

つまづいているのは次の補題。

整関数に関する次の条件は同値。

11-12-1.gif
ただし、
11-12-2.gif


(i)⇒(ii)の証明の冒頭で昨日紹介した補題より、
11-12-3.gif
であるので、
11-12-4.gif
とFourier展開出来ると書いてあるのだがこの行間が埋まらない。

これを認めてしまえばあとはテクニカルな部分はあれど形式的な計算
で証明できる。というかこれがあるから形式的な計算で証明が済んでしまう。

周期 l の周期関数が上の形の収束する級数で書けることは自明でなく、
困っていたのだがアールフォールスの複素解析の本に書いてある模様。

まだ、読んでいないのだが、Fourier展開といっても
どうやらLaurent展開の話に帰着されるようだ。

読んで理解したらまたここに書くことにしてとりあえず認めて先に進む。

(ii)⇒(i)は上の形の級数に展開されると仮定したとき右辺の級数が収束すること
くらいは言っておいたほうがいいだろうがこれは係数の条件から係数は有限個の値
しか取らないわけだからその最大値をとれば、あとはテータ関数の収束性の証明とほぼ同様。

後は(i)⇒(ii)の計算を逆にたどればよいので(ii)⇒(i)の証明はさほど難しくない。
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