数学関連の話題や日々の出来事で思ったことを日記につづってみる。
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■■■ゴールデンウィーク!!
2008/04/30 Wed雑記
今週末から、ゴールデンウィークですね。
今年は4月29日との間はすべて平日なので
なかなか予定が立てづらいかも知れないですね。

しかも連休中は暑い日が多いそうです。

僕の住んでる地方も暖かくなるそうで、明日は暑くなるらしいです。
暑いのが大好きな僕としては嬉しいですね。

天気がいい中、散歩したいかなぁ。

今は隣を歩く人はいませんが、アイスでも食べながら
のんびりお散歩したい。

歩きながら話したりすると、たいしたことないことでも
案外、話が弾む!

どこかに出かけるのもいいですが、たまにはのんびり友達と話するのも
いいかも知れませんねぇ^^
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■■■Jacobiの微分公式
2008/04/27 Sunテータ関数
複素トーラスとは一旦離れて、テータ関数の公式を証明していきます。

4-27-1.gif

でした。また、

4-27-2.gif

で複素トーラスの定義方程式を表すことができました。

テータコンスタントにはこういった重要な性質があるのです。
もう一つテータコンスタントの公式として

4-27-3.gif

4-27-4.gif

という関係が成り立ちます。これをJacobiの微分公式と呼びます。

この公式をこれから証明していくのですがその前に一つ補題を。

4-27-5.gif

4-27-6-1.gif

が成り立つ。すなわちテータ関数は熱方程式を満たす。

証明は、厳密には項別微分ができることを示さなければならないのですが
まぁ、ここでは形式的に項別微分をすることにします。

4-27-7.gif

であるから、

4-27-8.gif

となる。

一方で

4-27-9.gif

であるから比較すると補題の主張を得る。

次回からはJacobiの微分公式の証明をしていこうと思っています。
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■■■ネタがない!
2008/04/24 Thu雑記
何か書こうと思ったら、今日はネタがない・・・。

今日は久しぶりに雨が降った。空気乾燥してるからちょうどいいなぁ。

明日晴れたら空気が澄んでるぞ~^^

最近風邪引いたなぁ。鼻水が出る・・・。

風邪だよね?きっと。最近寒暖の差が激しいし。

まさかまさかついに花粉症だなんてことは・・・

うん。風邪だ。きっと。僕は花粉症じゃない~!

信じるものは救われる!

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■■■取りこぼしていたセクション
2008/04/21 Monテータ関数
新しいセクションに入っていく前にとりこぼしていた所をやってしまいます。

4-20-1.gif

は z に関して偶関数である。証明は定義式から計算してやればすぐに出てきます。

4-20-2.gif とおくと

4-20-3.gif

である。従って

4-20-4.gif

が成り立つ。同様にして

4-20-5.gif


4-20-6.gif

が導かれる。右辺の級数の収束も特に難しいところはない。

4-20-7.gif に関しては z=0は零点なので微分したテータコンスタントを考えます。

4-20-8.gif

となります。
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■■■気持ちいい!
2008/04/19 Sat雑記
最近は暖かくなりすっかり春ですね^^

僕は少し時間はかかりますが学校まで歩いてかよっています。

歩いていても気持ちがいいです。

土のにおいなのかな?外に出ると春らしいにおいがします。最近は歩きながら
良かったこと、つらかったこと、色々なことを思い出します。

このにおいのせいでしょうか?どうして今頃思い出すのかということもあり
謎は深まるばかりです^^;

人は目でみた情報の次に記憶につながりやすいのはにおいだと聞いたことが
あります。このことの真偽はあまり気にならないのですが、春のにおい?をかぎながら
色々思い出して歩くのはすっきりして最近のマイブームです^^;

僕の住んでいるところはもうすぐ桜が咲くそうなのでとても楽しみです。
桜の花が舞っている中を一度歩いてみたい。
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■■■上下関係?
2008/04/16 Wed雑記
新しく修士1年生に学生が入ってきました!

修士1年生と一緒に休憩していたのですが、とても礼儀正しい!

聞くと、体育会系のサークルで「先輩後輩」の上下関係が厳しかったとのこと。

僕は、実力主義者なので実は「先輩後輩」の上下関係は大嫌いなんです。

会社などで業務遂行、管理のために役職、上下があるのは当然なのですが

たかが1、2年早く生まれただけなのだけでできる上下は嫌いです。

同じ舞台に立てば能力は劣るのに学年が上というだけでミスを押し付ける、
無理強いをする、そんなのは何も生まないと思います。

そもそも、1,2年早く生まれただけで敬うも何もないと思います。

なので、修士1年生の学生たちに気を遣わせていないかとても心配です。

年齢に関係なくお互い対等の立場でいい関係、環境を作りたいですね^^

皆さんは「先輩後輩」の上下関係ってどう思いますか?
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■■■複素トーラスの射影空間内での定義方程式
2008/04/13 Sunテータ関数
前々回、

4-13-1.gif

であることを示した。

4-13-2.gif

であることを示す。今、

4-13-3.gif

(真に含まれている)と仮定する。ここで次の定理を認めることにする。

4-13-4.gif

4-13-4-1.gif を射影平面内の 4-13-4-2.gif の曲線とする。この時この曲線は
(接点や特異点での重複度を適切に数えれば)4-13-4-3.gif 個の点で交わる。

さて、4-6-8.gif 内の超平面

4-13-6.gif

を考えると

4-13-8.gif

となる。どうしてかというと、超平面といっても射影平面と同一視できるので

4-13-4-1.gif

を射影平面に制限したと考えベズーの定理を適用してやれば4次曲線であることがわかる。

今、4-13-3.gif と仮定しているからある曲線 4-13-5.gif が存在して

4-13-7.gif

とかける。ここで

4-13-9.gif

であるから、この関数は周期平行四辺形内で 4個の零点を持つ。従って

4-13-10.gif

であるから
4-13-11.gif

これは、 4-13-3.gif に矛盾する。

重複度や次数の定義に触れていないのでなかなか難しいと思います。
超平面で切って考えているので射影平面の曲線の話になります。
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■■■複素トーラスの射影空間内での定義方程式~Part 1-2~
2008/04/10 Thuテータ関数
ベズーの定理の前に取りこぼしていた命題を片付けます。

4-10-1.gif

とし、射影空間の超平面を
4-10-2.gif

とする。

4-10-0.gif

射影空間 4-10-3.gif において4-10-4.gif は重複をこめて 4-10-5.gif である。

命題の直感的なイメージとしては埋め込んだトーラスを超平面で切ると
4-10-5.gif 個の点からなっているということです。

では、証明していきます。

4-10-6.gif4-10-7.gif となるための必要十分条件は

4-108.gif

であるから

4-10-9.gif

とおくと 4-10-10.gif である。従って

4-10-11.gif

である。すなわちこれは周期平行四辺形 4-10-12.gif 内の零点の個数に等しいから

4-10-13.gifは重複をこめて 4-10-5.gif 個である。

この命題は梅村先生の本の命題 3.9です。どこで使ったっけ?と思って飛ばしてしまいました。
記号や議論を忘れてしまった方は過去の記事のトーラスを埋め込んだあたりを読み返して
見てください^^;

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■■■さて、どうしよう?
2008/04/08 Tue雑記
テータ関数の記事を書いていますが、次のところどうしよう?と少し悩んでます^^;

ベズーの定理は申し訳ないんですけど認めてもらうことにして

一般の次元の射影多様体についてを認めてもらうことにしようか、
2次元版のほうを認めてもらうことにしようか・・・。

本当は重複度をどう定義するかということも言っておかなきゃならないのですが、
それはまた大変^^;

一般の次元の射影多様体について認めるのはすぐに定理を適用すればいいので
書くのは簡単なのですが、話の内容には2次元版で十分なんですよねぇ。

さてさて、どうしようかな。結果はしばしお待ちを・・・。
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■■■複素トーラスの射影空間内での定義方程式~Part 1-1~
2008/04/06 Sunテータ関数
さて、以前証明した複素トーラスの埋め込み写像で 4-6-1.gif の場合、すなわち、

4-6-2.gif

を考える。

4-6-3.gif

であった。ここで前回導出した公式に 4-6-0.gif を代入すると

4-6-4.gif

が成り立つ。これは

4-6-5.gif



4-6-6.gif

を満たす、すなわち

4-6-7.gif4-6-8.gif の2つの2次曲面

4-6-9.gif

上にある。

あとはこの方程式が複素トーラスの定義方程式になっていることを言えばいいが
1つ証明していなかった命題があるので次はそれを証明してから先に進むことにします。

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■■■ドタバタ!
2008/04/04 Fri雑記
一応内定をもらい4月からは落ち着く・・・はずがそうでもない。

まぁ、回りには就職活動をしている人がいるので
そのお話を聞いたり、新しく入ってくる修士1年生を迎える準備とかで
ドタバタしてます!

そういえば今日、新入生(学部生)がキャンパス内を探索してた。
入学式はまだ少し先みたいだけど・・・。

僕も他大学からの進学だったのですが、去年の4月は大学広い!って思った~。

他の学部の講義棟とかに行くの迷うし、もう大変!

そういえば、今の大学生って平成生まれなんですよね・・・。

なんだか、良くわからないけれどショック・・・。
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■■■Jacobiの公式
2008/04/03 Thuテータ関数
さて、前回は必要な分だけではありますがテータ関数の加法公式を導きました。

そのテータ関数の加法公式(A1)から(A3)をさらに 4-3-1.gif と特殊化すると

4-3-2.gif

が得られる。(A1)から(A3)のどれを特殊化しても同じ式が得られます。

さらに(A10)も同じように 4-3-1.gif と特殊化してやると

4-3-3.gif

が得られ、従って

4-3-4.gif

が成り立つ。

(A1)から(A3)を特殊化した式に 4-3-6.gif を代入するとJacobiの公式と呼ばれる等式

4-3-5.gif

が得られる。

短めですが今日はキリがいいのでここまでにしておきます。
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