数学関連の話題や日々の出来事で思ったことを日記につづってみる。
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■■■2月も終わり
2008/02/29 Fri雑記
2月も終わりですね~。

公立高校なんかは明日卒業式をするところもありますね。
高校生時代はいい思い出ですね。
今はお互いに連絡は取り合っていませんが、
あいつは元気かな?仕事がんばってるかなとか
高校生のとき好きだった子は元気かな、自分はあのころに比べていい男になったかな
なんて思い出してます。

今月は就職活動であまり更新できなかったな。
3月は今月より更新できるようにがんばろ!
テータ関数の記事も、埋め込んだ複素トーラスの定義方程式が
求まるところぐらいまでは絶対に進もう!
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■■■ふぅ~
2008/02/28 Thu雑記
履歴書が書きあがり、明日郵送だ~!

初めの1枚は書くのに時間がかかる^^;

これを元に文面を工夫すればいいから後は楽(?)なんだけれども。

SPI試験は何とかなるから、後は面接だ~!!がんばります^^

ふと日付を書いていて気づいたのが明日2月29日だ。
今年はうるう年だったんですね。もう3月かぁ。早いよぉ・・・。

履歴書の日付2月29日にしちゃったけど、大丈夫かな。


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■■■Riemannのテータ関係式~Part2-3~
2008/02/24 Sunテータ関数
前回の和 2-10-10.gif というのは

(1) 2-24-3.gif であって
2-24-5.gif

であるかまたは (2) 2-24-4.gif であって
2-24-5.gif

を満たす 2-24-0.gif にわたる和を表すというものでしてた。

ここで、
2-24-1.gif

と変数変換してやると次のことが成り立ちます。

2-24-6.gif

次の条件は同値である。

(i) 2-24-0.gif は上に書いた和の条件(1), (2)を満たす。

(ii) 2-24-2.gif

証明は落ち着いて場合わけをしてやればよいです。

また A が直交行列であり、内積を変えないことに注意すれば
前回計算した次の式は

2-10-11.gif

2-24-7.gif
とイコールであることがわかります。(記号が混同してしまっていますが上の式
つまり、前回計算して出した式の n が今回のLemmaの m に当たります。)

この式をRiemannのテータ関係式と呼び、
2-24-8.gif

と書きます。
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■■■帰省中
2008/02/23 Sat雑記
ただいま帰省しています。

就職活動が終わるまではそんなにゆっくりはしていられません!

早く決めてしまいたい・・・。

でも、実家で少し落ち着いています。

やっぱり、実家はいいですね^^

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■■■意見の対立
2008/02/19 Tue雑記
いろんな人が集まると、人それぞれ色々な考えや立場があります。

その中にいるともちろん争いもおこる。

たいていは感情のぶつかりあいだったりしますが、どちらも正当な意見として
主張がぶつかりあうこともあります。

僕は、色々人から相談されたり、争いに巻き込まれてしまうことがよくある。(なぜ?)

感情がぶつかりあっているときは話し合いにはならないけれど、主張がぶつかりあう
ときはお互いに主張をぶつけ合い折り合いをつけなければならないと思って介入しています。

どちらの味方もせず、個人的な感情もいれず、事実やぶつかり合っている点についてのみ
見るようにしています。(よく、冷たいとかクールとか言われてしまいます)

第3者であることが多いのでお互いの意見を聞き、話し合いをしていくのですが
やりあっている当事者たちはだんだんと感情的になっていってしまいます。
なかなか、うまく話し合いを制御できません。

僕の考えとしては感情のぶつけ合いは話し合いにならず、うやむやになってしまい、
しこりが残ったり後味が悪い結果になってしまうと思っています。

介入するときにどちらの味方にも付かず、感情もはさまないのもそのためです。

今日起こったことも、途中で横槍が入ってしまい片方の感情が爆発してしまって
結局本質的な解決にはいたりませんでした。

このようなことが起こったときに大人の対応とは難しいものだなぁとつくづく思います。
まだまだ修行が足りないなぁと実感しました。

皆さんは意見の対立や争い事の仲介に入るときはどうしているのでしょうか?
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■■■Riemannのテータ関係式
2008/02/17 Sunテータ関数
日があいてしまったが少しでも進めておこう。

テータ関数の定義に従って計算すると

2-10-6.gif

を得る。以後、τは必要ではないので、ここで記号の簡略化のためにτを省略して書くことにする。

同様にキャラクタつきのテータ関数に対しても定義に従って

2-10-12.gif


2-10-7.gif
,

2-10-8.gif


この4式を辺辺加えて計算すると

2-10-9.gif

を得る。

さらに記号の簡略化のためにこの式の右辺の和を 2-10-10.gif で表すことにすると

2-10-11.gif

を得る。

式が込み入っていますが、落ち着いて計算すれば難しくありません。
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■■■バレンタインのお返し・・・
2008/02/15 Fri雑記
今日も日記。

テータ関数のところはまだ数式ができていなくて・・・
早めに更新します^^;;

そういえば、昨日はバレンタインでしたね。

僕は本命や義理はぜ~んぜんもらえません!!
恋人からチョコもらえる人はうらやましいなぁ。
チョコはもらえないけど、バレンタインは別に嫌いじゃない^^;

でも、最近は仲のよい友達全員に配る方が多いようですね。

僕もそういうのなら何個かもらいました。

お返しってしたほうがいいんでしょうかね??

行事と思って返したほうがいいかなぁ。

来週から長くこっちをあけることが多いから来週までに何か買っておこうかなぁ。
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■■■ありゃりゃ~
2008/02/11 Mon雑記
携帯の電話帳のメモリーが全部なくなっちゃいました~。

理由は勘違い。

だって、特定のカテゴリの人だけ消えると思ったら、機械は
全部消したって。

たくさん人数が入っていたわけではないので困りはしませんが。

と、言うよりはなんだか少しすっきりしたのかも知れません・・・。

意味深発言^^;


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■■■Riemann のテータ関係式~Part 1~
2008/02/10 Sunテータ関数
前回までで複素トーラスを無事に埋め込みました。

Chowの定理により埋め込まれた複素トーラスは同次多項式の零点で
書けるのですが、埋め込んだ複素トーラスがどのような同次多項式で
書けるか、つまり定義方程式を求めてやることが次の目標です。

そのためにこのセクションでやるRiemannのテータ関係式が必要です。

・・・と書いていて今気づいた・・・。セクション一つ飛ばしてる・・・。

梅村先生の本のセクション3.5を飛ばしてしまいましたが、3.5 は後で必要になるので
必要なところにきたら戻ることにします。

それともう一つ、申し訳ないのですがこのセクションの命題の証明は
計算がメインなところが多いです。

途中計算をすべて書くのはちょっと大変ですし、書くスペースも限られているので
途中計算の部分はある程度省略させてください。

では、今日は線型代数の復習・・・。

次の4次正方行列を

2-10-1.gif


とする。このとき
2-10-2.gif

が成り立つ。すなわち、(1/2)A は直交行列である。

次に 2-10-3.gif を変数として

2-10-4.gif


と置く。(1/2)A は直交行列なので内積は変えないから
2-10-5.gif

が成り立つ。

今日は物足りないかも知れないがここまでにしておく。

この行列はなんてことない行列だし上に述べた性質も証明は計算するだけで
別になんてことはない(といったら誤解されてしまうかもしれないが)性質だと
感じます。

ですが、Riemannのテータ関係式においてはこの行列がものすごい威力を発揮し、
とても重要です。

テータ関数の関数等式を作るのにこういった行列を探し出すのはなかなか難しいのでは
ないでしょうか?(僕はやったことないのでわかりませんが)
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■■■今日は・・・
2008/02/07 Thu雑記
今日は実は書くネタがない・・・。

日記でも書いて更新しようと思ったんですが、
今日は平和な1日でした。

きっとこんな日がブログを書いている方はあるんだろう・・・。

今日はこれから、定期試験の勉強したり、履歴書に書くことの内容を推敲したりと
やることはてんこ盛りです。

最近は週末も休んでないから、少し疲れがたまってますねぇ。

これから、企業との接触も入るし、体調には気をつけないと。

皆さんも体調には気をつけてください。
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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう!~Part 3 Step 4 続き~
2008/02/04 Monテータ関数
2-4-9.gif

であるから
2-4-10.gif

であり、2-4-11.gif2-4-12.gif の2位以上の零点であり、同様にして
2-4-13.gif2-4-12.gif の2位以上の零点であるから
2-4-12.gif2-1-14.gif 内に 2-1-15.gif 以上の零点を持つことになりLemma 1に矛盾する。

これでJacobi行列(といっても今は1次元なのでただの微分です)のランクが落ちていない
ことが証明でき、埋め込みであることがいえた。

条件がはっきりと書けてしまうのでこちらのほうが理解しやすいと思いますがどうでしょうか?
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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう!~Part 3 Step4~
2008/02/04 Monテータ関数
さてさて、埋め込み写像であることも大詰め。
今回は微分が消えていないこと(Jacobi行列がフルランクである)ことを証明していく。
Jacobi行列のランクが落ちているということはその点で特異点である(とがっていると
思ってもらえればいいです。)ということでそういうことが起こってしまう場合は埋め込み
とは言わず、はめ込みと呼ばれます。そのようなことは起きていない、埋め込みだという
主張です。
前回まで出単射性を示しており、はめ込みで
あることは示してあります。


1次元の話なのでタンジェントスペースなどの一般論は隠して進めます。
証明は単射性の証明と同じです。

2-4-1.gif

として、

2-4-2.gif

となるように局所座標を取ってやる。

2-4-3.gif

であるから、この点の座標は

2-4-4.gif

である。

ここで各 2-4-5.gif について
2-4-6.gif

であるとします。(これが本では写像の微分が単射でないとしているところです。)

前回と同様に
2-4-5-1.gif

が複素トーラス上で 2-4-5-2.gif と異なる点であるように
1-27-5.gif

を選んでやる。さらに 1-27-8.gif 個の点1-27-10.gif を選び、
これら 2-1-15.gif 個の点が複素トーラス上で相異なる点であるとする。このとき単射性の証明のときとまったく同様に

2-4-8-1.gif

が存在する。
さて、今
2-4-6.gif

と仮定しているから

2-4-7.gif

である。従って、

2-4-8.gif

が成り立つ。
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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう~Part3 Step3~
2008/02/01 Friテータ関数
前回書いてあった

1-27-12.gif

の存在はすぐに確かめられる。 2-1-0.gif2-1-0-2.gif の基底を成すわけだから

2-1-1.gif

と置いておき 2-1-2.gif を未知数とし未知数が 2-1-3.gif個で
方程式の数が 2-1-4.gif
個の連立1次方程式
2-1-5.gif

を考えれば、この方程式は自明でない解
2-1-6-1.gif

をもつ。この 2-1-6-1.gif に対して

2-1-1.gif

としてやればよい。

さて、今
2-1-7.gif

と仮定していたので2-1-8.gif

である。従って、
2-1-5-1.gif

であることに注意すれば
2-1-10.gif

よって

2-1-11.gif

まったく同様にして

2-1-12.gif


2-1-13.gif2-1-14.gif2-1-15.gif 個の零点を持つことになり、Lemma 1に矛盾する。

単射性が示せたので次は微分が消えていないことを示せば埋め込みであることがいえます。
微分が消えていないこともこれと同様に示すのですが、僕は本の証明はよくないと思っています。
確かにこの本では予備知識があることを仮定しているので本の証明でもいいのかも知れませんが、
ここでは複素トーラスを埋め込むことを言っているし1次元なのだからタンジェントスペースや
写像の微分なんていう一般論を持ち出す必要はないと思います。
これでは折角興味を持ってくれても、言葉が通じず読んでもわからないということになってしまいます。

この章で一番面白いところですし・・・。

オリジナルとまではいきませんが、写像の微分を使って書かれているところを
丁寧に書き下してみたので、そちらの証明を次回は書こうと思っています。
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