数学関連の話題や日々の出来事で思ったことを日記につづってみる。
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■■■あっという間に・・・
2008/01/31 Thu雑記
さっき、帰宅。

あっという間に1月も終わりですね。(あっという間なのは僕だけ?)

あけましておめでとう~!と騒いでいたのも遠い昔です。

テータ関数の記事、なかなか時間がなくて更新できてないのですが、
週末には絶対更新しますので~

これから定期試験の勉強です!
大学院生のくせになんで定期試験があるの?というのは何を隠そう教員免許のため。

でも、負担でしたね。教員志望ではないので・・・。
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■■■難しい~
2008/01/30 Wed数学
今、就職活動を行っているんですが、履歴書やエントリーシート
の自分の長所がかけなくて困ってます^^;

普段、生活していて自分の長所は自分では気づかないですし、
友達にきいたところ、女の子はたまに相手を褒めあったりするらしいのですが、
男の子は普段の会話で相手を褒めあうなんてことはありません。

まぁ、男は照れ屋な生き物なので・・・。

指導教官の先生に推薦書をお願いしたとき、書いておいてほしい長所は?と
聞かれて、いい意味で(いい加減という意味ではなく)適当なところですと
答えたら、苦笑いでした・・・。

自分の長所・・・数学より難問です!頭を悩ませております^^;

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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう!~Part3-step2~
2008/01/27 Sunテータ関数
前回、複素トーラスから射影空間への正則写像
1-27-2.gif

を定義した。

1-27-1.gif

1-25-4.gif ならば、正則写像
1-27-2.gif

は複素トーラスの射影空間への埋め込みである。

証明の方針は埋め込みの定義に従って、単射性と Jacobi 行列の rank が落ちていないことを
言ってやればよい。

単射性を2回の記事にわたって示すことにしよう。
今日はまず、前半部分。
1-27-3.gif を複素トーラス上の相異なる2点とする。
適当な局所座標を取ってやって、

1-27-3.gif で複素トーラス上の点の座標も表していることにする。(同じ記号で複素平面状の点と思ったり、トーラス上の点と思ったりする)

1-27-4.gif であると仮定する。

1-25-4.gif であるから、
1-27-5.gif

を選んで、
1-27-6.gif

と置く。このときこれら4点が 1-27-7.gif 上相異なる4点となるようにできる。

さらに、1-27-8.gif の点1-27-10.gif を選んで

1-27-11.gif

1-27-7.gif 上相異なる点であるようにする。

このとき、
1-27-12.gif


とりあえず、今日はここまでにしておこ。次回はこの f の構成法から述べて単射性の証明を
終わらせようと思います。
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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう~Part3 Step 1~
2008/01/25 Friテータ関数
さて、前回まででテータ関数の零点を調べた。

いよいよ、複素トーラスを射影空間に埋め込む写像を構成していきます。

記号の煩雑化を防ぐためにテータ関数のキャラクタを

1-25-1.gif



1-25-2.gif

の完全代表系として

1-25-3.gif

とおくことにする。

Proposition 2よりキャラクタが違えば零点の位置は異なっているので 1-25-4.gif とすると 1-25-5.gif に対して

1-25-6.gif

であるので射影空間 1-25-7.gif の点

1-25-8.gif

が定まる。

1-25-9.gif であるから1-25-11.gif

が成り立つ。従って
1-25-12.gif

が成り立つ。従って、正則写像(解析写像ともいう)

1-25-13.gif

が定まる。
この写像が複素トーラスの射影空間への埋め込みを与えているわけであるが証明は次回に。
この写像により複素トーラスは射影空間に埋め込まれ、Chowの定理から同次多項式の
零点として複素トーラスが書けるわけだがセクションが進んでいくと定義方程式もテータ関数
を用いて書けることがわかる。

この章で一番綺麗で面白い部分であると思います。
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■■■歯が痛む・・・。
2008/01/21 Mon雑記
今日はなんだか歯がしくしくと痛む~~。

虫歯かなぁ・・・。

甘いものもそんなに食べないし昼も夜も歯磨きしてるのに虫歯になるんだよな~。

体質の問題なのかな?

今日は数学はちょっと一休みして就職の情報集めをしていて夜は少しのんびり。

そういえば昨日はセンター試験でしたね。

問題を見せてもらったのですが、数学IAは確率の問題が少し大変そうでした。

数学IIBに関しては文系志望の学生は難しかっただろうなぁ・・・。

さらさらと見ただけでしっかり解答してみたわけではないのですがそんな印象でした。

受験生はまず一段落ですね。これから二次試験にむけて頑張ってください。

さて、今日は早めに寝て明日からまた頑張ろう!!

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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう!~Part2-3続き~
2008/01/19 Satテータ関数
Proposition 1 の証明。

1-19-11.gif

であるから 1-19-12.gif である。

従って、Lemma 1より 1-19-9.gif は周期平行四辺形 1-19-13.gif 内に1個の零点を持つ。

1-19-14.gif

であるから両辺に z=0 を代入すれば

1-19-15.gif


である。

1-19-16.gif

より、1-19-17.gif すなわち、1-19-18.gif1-19-9.gif
周期平行四辺形 1-19-13.gif 内の零点である。

1-19-19.gif

が成り立つので
1-19-20.gif

である。従って、テータ関数の零点全体の集合は
1-19-10.gif
である。(証明終)

指標つきテータ関数の定義から

1-19-21.gif

であるからこの命題の直接の帰結として次の命題が得られる。

1-19-23.gif

指標つきテータ関数の零点全体のなす集合は
1-19-22.gif

である。

ふぅ、案外大変だった・・・。今日はここまでにして次回はついに埋め込み写像を定義しますかぁ!
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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう~Part2-3~
2008/01/19 Satテータ関数
前回、零点の個数に関する補題を調べ終わったので
テータ関数の零点について調べていくことにしましょう。
まずは、次の補題から。

1-19-3.gif

1-19-6.gif

が成り立つ。すなわち、1-19-4.gif の関数として

1-19-5.gif は奇関数である。特に、
1-19-7.gif
が成り立つ。

証明は単純に計算するだけなの省略する。

さて、Lemma 1とLemma 2 を用いてテータ関数の零点を求めます。

1-19-8.gif


1-19-9.gifの零点全体のなす集合は

1-19-10.gif

である。
証明はさほど難しくない。

これからちょっと予定があって出かけるので証明は帰ってきたら書きます!


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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう!~Part2-2~
2008/01/16 Wedテータ関数
前回の続き。

さて、偏角の原理(零点の個数を求める定理が偏角の原理ということを初めて知った・・・。
この定理は留数定理の応用から出てくるものだったので・・・。)から基本周期平行四辺形内の零点の個数は

1-16-1.gif

で求めることが出来る。

今、
1-16-2.gif

であることに注意をすると

1-16-3.gif

1-16-4.gif

となり零点の個数が 1-15-5.gif であることが証明された。

1-16-5.gifという記号になれていない方は 1-16-5.gif

1-16-6.gif
で置き換えて読むとわかりやすくなると思います。僕はlogの記号が便利なのでこちらで書きました。

この補題これからなかなか重要になってきます。この補題を使って次はいよいよテータ関数の零点を調べていこうと思います。
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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう!~Part2-1~
2008/01/15 Tueテータ関数
研究集会参加などで日があいてしまったが、がんばって進めていこ~!!

前回の予告どおりまずはテータ関数の零点を調べていくところから。

一応複素トーラスについては知っているものとして話を進めていこうと思う。
(知らないという方はこのセクションを飛ばして読んでも大丈夫でしょう)

複素多様体(1次元のものを考えるているのでリーマン面ともいう)のいい例です。

ここで複素トーラスを表す記号を
1-15-1.gif
とします。

まず、次の補題を示す。

1-15-2.gif

1-15-3.gif

とすると

11-11-6.gifは周期平行四辺形1-15-4.gif内に重複を込めて1-15-5.gif個の零点をもつ。

証明はただ単に留数定理の応用。
まず、基本周期平行四辺形1-15-4.gifを取る。
方向をつけた線分
1-15-6.gif
にA、B、C、Dと名前をつけておく。

11-11-6.gifの零点が平行四辺形の上にあるときは少しずらした平行四辺形を考えればよいので零点は基本周期平行四辺形の内部にあるとしてよい。

ここで注意しておくことが一つ。
ずらした平行四辺形を考えればよいことは、まず、1変数正則関数の零点は離散していることと
周期平行四辺形の内部に零点は有限個しかないことからいえている。
周期平行四辺形は周まで含めると有界閉集合であるから点列コンパクト。
従って、もし、零点(離散している)が無限個あるとすると零点からなる点列を考えれば
点列コンパクト性からある収束する部分列が取れて関数の値が 0 になる。
従って、一致の定理から関数が恒等的に 0 となるので仮定に矛盾する。

従って周期平行四辺形の内部と周の上に零点は有限個しかないことがいえるので
少しずらした平行四辺形を考えればよいといっている。

この議論を一言付け加えておいたほうがよいと思う。

長くなったので留数定理を用いて零点の個数を計算するところは次回にまわすことにします。
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■■■戻りました!!
2008/01/12 Sat雑記
研究集会から戻ってきました。

神戸には始めていったのですが、行って気が付いたのが

西の人はエスカレーターで左側を開けて乗ること!!

僕の住んでいるところは右側を空けて乗ります。

皆さんの地域はどちら側を空けて乗るのでしょうか?

研究集会に始めて参加して、話はわからないものもたくさんあったのですが、
いい刺激を受けました。

自分の専門以外の分野ももっと勉強してみたいなと思いました。
思いっきり数学を勉強できるのはあと一年ですが、趣味としても続けていって
もっともっといろいろなことが知りたいと思え、いい経験になりました。
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■■■明日から研究集会!!
2008/01/06 Sun雑記
明日から神戸にお出かけ!


神戸は始めていくのでとても楽しみ・・・^^。

研究集会の内容は一つが超幾何関数ともう一つが計算数学。

一応、自分の専門は複素幾何ということになっていますが、特殊関数論に
複素幾何的な手法も用いられているので楽しみです。

きっと話を聞いたら頭の上に ? マークがでますが・・・。

ブログの更新はお休みしてしまいますが、帰ってきたらまた再開します^^

では、いってきま~す!!
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■■■複素トーラスを射影空間に埋め込もう!~Part1~
2008/01/04 Friテータ関数
新年一発目!!新しいセクションに入っていくことにします。

このセクションは、幾何学的な内容ですね。
今日はイントロダクションを少し。

梅村先生の本は結構な量の予備知識を仮定しているのでHeisenberg群のセクションや
このセクションを読むのはなかなか骨が折れますね。

この本の第2章ではWeierstrassのぺー関数という関数を用いて複素トーラスを
射影平面の3次曲線に埋め込んでいます。

なぜ、こんなことをするのかというと、1変数の正則関数の零点は離散していて
扱いは非常に楽ですが、一般に多変数の正則関数の零点は連続体を成していて
特異点などもあり、非常に複雑です。

このセクションを読むにあたり重要な定理としてChowの定理というのがあります。
ステートメントは次の通りです。

「射影空間においてすべての解析的部分集合は代数的部分集合である。」

この定理は射影空間内で有限個の正則関数の共通零点で定義される集合
(位相的に連結閉は仮定します)は
すべて斉次多項式の共通零点で定義される集合だということを主張していて
とても強力な定理です。つまり、射影空間においては考えている正則関数の零点と同値な
ものが実現できればその構造を調べるのは代数幾何の理論でよいわけです。
(代数幾何も難しい分野なので一概に簡単になるとはいえないですが、少なくとも正則関数より多項式のほうが扱いやすいです。)

Chowの定理の証明は準備がかなり大変です。

堀川頴治先生の複素代数幾何学入門の第4章に載っています。
証明にはかなり準備が必要ですが、準備の部分を理解してしまえばChowの定理の証明自体は
それほど難しくありませんし、このセクションで事実として認めているところも補えます。

では、どのようにして複素多様体や解析的部分集合を射影空間に埋め込むかということで
このセクションや第2章のぺー関数による埋め込みはこの定理の具体例になっています。
さらに、もう少し進めて、1次元ではなく高次元の複素トーラス、複素多様体の埋め込みを
どう実現するかということにもつながってきます。

このセクションではテータ関数を用いて複素トーラスを3次元の射影空間へ埋め込みます。
結果としては4次の射影曲線として埋め込まれます。


月曜日から研究集会で一週間お出かけなのでその間更新は出来なくなりますが、
次はまずテータ関数の零点を調べるところから入っていくことにします。

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■■■あけましておめでとうございます!
2008/01/01 Tue雑記
あけましておめでとうございます!

皆さんにとって今年がよい年でありますように。
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