数学関連の話題や日々の出来事で思ったことを日記につづってみる。
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■■■みなさんよいお年を~~^^
2007/12/31 Mon雑記
ブログを見に来てくださった皆さん、どうもありがとうございました。

専門的なことばかりですが来年もたまにのぞいてやってください。

皆さん、よいお年をお迎えください。

今年はどうもありがとうございました~~。
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■■■今年もあと3日!
2007/12/29 Sat雑記
今年もあと3日ですね~。

どう過ごされる方が多いのかなぁ。

僕は実家に戻って少し休養。疲れが抜ければいいけれど・・・。

年が明けてすぐに研究集会で1週間お出かけだし・・・。

まぁ、今のうち休んでおきます。

テータ関数の記事は、来年はトーラスを埋め込むところからはじめようと
思っています。

このセクションは多少突っ込みどころがありますね。

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■■■Heisenberg群~part3-3~
2007/12/27 Thuテータ関数
どうにも解決できないHeisenberg群の既約表現。

群論を勉強しとけばよかったなぁ。

ここであまり時間を費やして更新をとめるのも嫌なのでとりあえず不本意だけど

認めることにする。

堀川頴治先生の「複素代数幾何入門」でChowの定理を勉強したので
次のセクションが僕にとっては一番の楽しみにしていたところ。

で、とりあえず既約表現であることを見てみるために表現行列を求めてみた。

11-19-1.gif
の基底には
11-17-10.gif
をとってやる。

すると写像

12-27-1.gif
の表現行列は

12-27-2.gif


12-27-3.gif
となる。

表現行列を表す記号は写像としての記号と同じものを用いた。

次に、Tの表現行列の固有方程式は

12-27-4.gif
であるから固有値は1の原始 l 二乗根である。

固有値 1 に属する固有ベクトルのところがなんとなく気になって調べてみたら

固有ベクトルは

12-27-5.gif
となる。

1次元分しか出てこなくていいのか・・・?。
1に対する固有空間に S を作用させたらどうなるんだ?全体と一致するのかな?

う~~ん、ここまで来てなんだかどうしたらいいのかわからなくなってきた。
表現といっても基底もわかっているわけだから線型代数の話になると思ったんだけどなぁ。
何か勘違いしてるかも・・・。

というわけなので、とりあえずここはいったん認めることにして解決したら追記することに
します。

この節はHeisenberg群の既約表現が11-19-1.gif ということだけでHeisenberg群の特殊性
みたいなものは特に使われていないです。

軽くしか触れられていないので命題に出ているものだけを抑える程度でも十分だと思います。
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■■■ごめんなさい
2007/12/23 Sunテータ関数
今日Heisenberg群の続きを書こうと思っていたのですが、

忙しくてムリそうです。

この連休もないし、年末年始ぐらいはゆっくりしたいよ~~。
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■■■Heisenberg群~Part3-3~
2007/12/20 Thuテータ関数
さらりとしか触れられていないがHeisenberg群も大詰め。

今日はまず、この前定義した商群が整関数のベクトル空間に作用するところを
書こう。

さて、
12-15-5.gif
であった。

さらに、

12-15-3.gif
であったから、12-20-1.gif

12-20-2.gif
は可換。

11-19-1.gif が 12-20-1.gifで不変であることを考えれば、

12-20-3.gif
が代表元によらず作用することがわかる。

ここで重要なのは中心に含まれている部分群によって不変なこと。
そこさえ抑えていれば作用することを確かめるのは難しくない。

さらに

12-20-4.gif
であることも定義から
すぐにわかる。(僕の感覚としてこの表記法には少し違和感があるが・・・)

ここでオーバーラインが付いているものは自然な射影による像。

12-20-5.gif
とすると

12-20-6.gif
,
12-20-7.gif
である。

ここまでは本にあるとおりでなんてことはない。だけどこの本既約表現であるという
このセクションで一番大事なことを書いていない・・・。

紙面かなにかの関係なんだろうがこれでは今まで
このセクションでやってきたことが何なのか良くわからない。

使わない定理を書くよりこっちをかいてほしかったなぁ。

う~ん、どうしよう・・・。既約表現であることを言うにはまず、不変部分空間が存在したと
すると言うところから入っていってそれが全体に一致してしまうことをいえばいいけど、
理解不足なうえに長くなったので今日はここまでにしとこう。


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■■■今日も日記
2007/12/17 Mon雑記
今日も日記でごめんなさい。

今週で年内のセミナーを終わらせたかったのに、クリスマスにセミナー入った。

先生、勘弁してください!!後期がんばったじゃないですか~~。
予定してたところをきちんと年内に終わらせたじゃないですか~~。

実家帰らせて~~。

と叫びたい気持ちでいっぱいだけどまぁいっか・・・。

実家帰ったところで待ってる人は誰もいないさ・・・。寂しい><

地元の友達、地元に就職しようよ。都会にあこがれるのもわかるけどさ。
あまり仕事がないのもわかるけどさ~~。

でも、年明けすぐに出張が入っていて地元帰ってもすぐ戻らなきゃならないから
いいんだけどさ・・・別に。

寂しさでいっぱいだ~~。

だんだん日記に地がでてきた。隠さないと^^;;
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■■■今年もあと・・・
2007/12/16 Sun雑記
今年もあと2週間!!

早いものですね^^

大学卒業して大学院にいって新しい環境でいっぱいいっぱいになりながら
がんばった年だったなぁ。

僕は博士課程は考えてないから、数学を思いっきりできるのは後1年なんだなぁ。

まぁ、社会人になってからも趣味として続けては行きますが研究となると今までとはまた違いそうなので
博士にはいきません。

皆さんも学生のうちにしかできないことを思いっきりしちゃってください^^

学生のとき当たり前にやってることって、実は学生のうちにしかできない・・・。
お勉強もその一つってことで。

でも、僕は今ものすご~~く遊びたい!!
明日も試験+セミナー・・・。
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■■■Heisenberg群~Part3-2~
2007/12/15 Satテータ関数
いつもPart○-1はない・・・。
もっとうまく番号つけろ~~!

少し日が経ってしまったがHeisenberg群の続きを書こう。

12-15-1.gif
としよう。つまり、
位数 m の巡回群とする。

12-15-2.gif
とおくと、Heisenberg群の部分群であり(証明は容易)、

12-15-3.gif
である。
従って商群
12-15-5.gif
を考えると、この商群上の積の演算はHeisenberg群上の積の演算とまったく同じに入る。

Heisenberg群で証明したのとまったく同様に交換子群が
12-15-6.gif
であることが示される。
(以前示したのと同様なのでここで重複して証明はしない。)

この商群はHeisenberg群の有限版である。

ここまではいいとして、これくらいの浅い記述で済ませるなら von Neimann-Stoneの定理は
使わないし Remark くらいのほうがいいと思う。

話を戻して、このHeisenberg群の有限版でもvon Neimann-Stoneの定理の類似が
成り立つことが知られている。

この有限版のHeisenberg群の既約表現を作ると
11-19-1.gif

だということだが、ん~なんだか理解不足かも・・・。大まかな流れはわかったのだがなんだか
自分の考えでは詰めが甘い感じがしないわけでもない。

とりあえず今日はここまでにして既約表現であることはまた後日書くことにする。

ここでは既約表現を作ったということだけでHeisenberg群のすごさというのは
あまりわからなかった。

でも、Heisenberg群の表現論からテータ関数をみればHeisenberg群のすごさが
わかるのかも知れない。




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■■■むき~~
2007/12/10 Mon雑記
授業、セミナー、テスト勉強で一日中数学・・・。

頭が疲れてきた~~。計算ミスもちらほら・・・。(これは疲れてなくても・・・)

テータ関係式20個確認するの飽きてきた・・・。

テスト勉強、問題難しくて気分が落ちてきた・・・。

うわぁ~何か愚痴だけのブログになっちまった~~。

このブログでは年内にHeisenberg群終わらせよう。

さぁ、もうひとがんばりだ。
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■■■今週は中間試験!!
2007/12/09 Sun雑記
今週は中間試験の準備と自分のセミナーやら勉強やらでいっぱいいっぱい。

この時期は楽しいイベントもあるけど、その前に大変なことがあったりする。

教員免許取得(するだけで教員になる気はないのですが)のために学部生と一緒に
講義受けているので中間試験もうけねばなりません!!

おぉ・・・。線型代数演習問題難しい~><

授業にも出席してるし知ってるからといって適当にしてるわけでもなくきちんと聞いてる
のに・・・。

90分で何問とけるかな~~。免許取るには落とすことの出来ない単位だからどうか
落ちませんように・・・。

大学院の講義より単位取るの大変だな。(大学院の単位はもうほとんどそろってるのに・・・)

明日はセミナーもあるし就職情報の収集もしたいしがんばらねば!!
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■■■Heisenberg群~Part3~
2007/12/08 Satテータ関数
Heisenberg群とテータ関数の関係について調べていく。
12-9-1.gif
に写像
11-27-6.gif
を作用させると
12-9-2.gif
であることがわかる。

12-9-3.gif
とおくとこれはHeisenberg群の可換部分群になる(証明は容易)
12-9-4.gif
であることから生成元は
12-9-5.gif
である。

従ってこの生成元を写像 12-9-6.gif と同一視してみれば整関数に関して
次の条件が同値であることがわかる。

12-9-7.gif
とする。このとき

12-9-8.gif
である。

12-9-6.gif の定義と11月11日書いた補題から次のことがわかる。

12-9-9.gif


とりあえずここまでにしておく。

命題や補題に番号つけておけばよかったなぁ・・・。


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■■■Heisenberg群~Part2-3~
2007/12/06 Thuテータ関数
あまり間隔があき過ぎないように少しでも進めておこう。

この前の命題の続きというか補足。

群の中心はもちろん正規部分群。中心で割った商群は

12-2-17_20071206231746.gif

である。これは数ベクトル空間の加法の演算により、Abel 群を成す。

従って以下の短完全列を得る。

12-6-2.gif

ここは中心と交換子群を得てshort exact sequence を得るまでで終わりみたい。
この短完全列はここで出てきておしまいなのかな?

次に von Neumann - Stone の定理というのがある。量子力学の分野での大きな定理
らしいが使わないし僕は量子力学を知らないので飛ばすことにする。

次回からはHeisenberg群とテータ関数の関係について調べていくことにしよう。
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■■■寒いですね~
2007/12/04 Tue雑記
気づけばもう12月で今年もあと少し。

12月だからかな。なんだか慌ただしい気がする。

うまくまとまった時間が取れないし・・・。

単に時間の使い方が下手なだけかなぁ。

朝、早く起きるようにしたりして、時間作るようにしているんだけど、
なかなか自分の時間が取れない。

ブログももっとちゃんとした記事を投稿しないと。

一日28時間くらいになってくれ~~。
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■■■最近・・・
2007/12/03 Mon雑記
悩みとかって人に言えないなぁ。人から相談はされるけど。

今の大学院には他大学からの進学だけど、同じ大学の友達もいるし、
大学院でできた友達もいる。楽しく馬鹿話もするし、何も不満はない・・・と思うんだけど・・・。
でも、悩みとかは相談したことはないし、悩んでるところを見せたこともほとんどない。

環境が変われば人も変わる。良くも悪くも。自分も何かしら変わっているのだとは思うけど、
距離が離れても信じていたんだけどなぁ。
結局、自分が想像していた中で最悪のケースになっちゃったなぁ。


自分のこと何でも相談できる友達って近くにいる人が多いのかな?
これを読んでくれた人たちはどうなんでしょう?

あ~ぁ、何書いてるんだろう?
明日からまたがんばるかぁ~~!



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■■■Heisenberg群~Part2-2~
2007/12/02 Sunテータ関数
昨日、書けなかった命題の証明をつけよう。

まず初めの命題。Heisenberg群の積の定義から
12-2-1.gif
は明らか。

逆の包含関係を示せばよい。
12-2-2.gif
とすると、
12-2-3.gif
が成り立つ。
12-2-4.gif
と置けば、
12-2-5.gif
であるから
12-2-6.gif
である。
両辺を 12-2-7.gif で微分してやると
12-2-8.gif
がわかり
同様に 12-2-9.gif で微分すると
12-2-10.gif
がわかり
12-1-2.gif
である。

次に交換子群について
12-2-11.gif

とする。定義に従って計算してやれば
12-2-12.gif
となる。

逆に
12-2-13.gif
とすれば
12-2-14.gif
であるから
12-2-15.gif
と定義すれば
12-2-16.gif
となり命題の証明は終了。
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■■■Heisenberg群~part2~
2007/12/01 Satテータ関数
このまえはHeisenberg群を定義した。

そこでHeisenberg群に対しての命題を2つ挙げておく。

Heisenberg群を G と書くことにしよう(梅村先生の本ではスクリプト体を用いているがここでは
ただ単に G と表記する)

Heisenberg群 G の中心を
12-1-1.gif

と書くことにすれば
12-1-2.gif
である。

G の交換子群を
12-1-3.gif
で書くことにすれば
12-1-4.gif
である。

証明は両方の包含関係を示せばよいが使っている本には書かれていない。

ちょっと今日はこの後忙しいので証明は明日アップしよう。

明日改めて書こうと思うが、この命題の後の記述で
12-1-5.gif
が中心でわった商群となっているが、中心でわったということに意味はあるのかはわからない。

交換子群で割れば確か(最小の?) Abel 群になるから意味はあると思う。
今は中心も交換子群も一致してるからこの意味なのかな?

でも、Heisenberg群の中心がここにあることは知っていたほうが後で助かりそう。

訂正 : 交換子群で割った商群が最小の Abel 群ということではなく、

「商群が Abel 群になる最小の正規部分群が交換子群」

というのが正しい。
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