数学関連の話題や日々の出来事で思ったことを日記につづってみる。
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■■■学校見学!!
2007/11/29 Thu雑記
今日は教員免許取得の一環で定時制高校の授業を見学してきました。

夜間給食も出て給食なんて久しぶりでとても嬉しかったです。

しかも、量も味も申し分なし!!

授業は・・・はっきりと言って生徒たちがかなり立派でした。

定時制・・のイメージは確かにあまりよくありません。でも、今日行った学校の生徒は
授業中私語もなく、真剣、正直自分の高校時代と比べると自分が恥ずかしくなってきます。

それくらい立派でした。生徒さんの話をもっと聞いてあげたかったです。

先生も生徒を一人の人としてみていて、向き合っています。教える苦労も聞きました。

高校のレベルとか大学進学率なんかでは計れない部分を見てきて、とても勉強になり、
刺激を受けました。
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■■■日記を書くのは難しい??
2007/11/28 Wed雑記
文章を書くのって以外に難しいとこのブログを始めてよく思います。

テータ関数の記事は自分の理解したことを書けばいいのでそんなに困らないのですが、

こうやって日記を書くとなると以外に難しいなぁと思います。


今年はもう、インフルエンザが流行っているらしい。例年と比べてずいぶんと早いなぁ。

流行は流されすぎない程度に乗っているつもりなんだけど、インフルエンザの流行だけは
先取りしたくないなぁ。

就職活動もあるし、体調管理はしっかりしないと!!

この変な日記を読んでくれた方も気をつけてくださいね。

流行といえば、もうあと一ヶ月くらいでクリスマス。
イルミネーションやクリスマスソングが流れ始めてきました。

僕は、クリスマスのイルミネーションとか好きなのでなんだか嬉しい気分ですv^^。

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■■■Heizenberg群 Part1-2
2007/11/27 Tueテータ関数
一つの記事に書くと長くなるので分割して書く。

とりあえず今日はHeisenberg群を定義するところまでを書こう。

半径 1 の円周を

11-27-9.gif

と置く。これから
11-27-10.gif
に群構造を入れる。

写像
11-27-11.gif
を考えるとこの写像は単射になる。単射であることの証明は定義に従って計算してやればいい。

簡単にだけ書いておくと、
11-27-12.gif
とすると
11-27-13.gif
であるから
11-27-14.gif
として z=0 を代入した後τ → 0 の極限を考えたりすればc = c'が出てくる。
後は関数を
11-27-15.gif
にとって同様のことを
してやって、さらに z で微分したりして同様のことをしてやれば単射であることは示される。
(極限操作を使っているので少し気持ち悪い気もするが・・・。もちろん他の証明方法もあると思う。)

この写像の像が自己同型群の部分群になっていることが確かめられる。写像の合成を定義に
従ってみてやると
11-27-17.gif
となり積に関して閉じていること、逆元をもつことがわかり部分群であることが示される。

これをρの逆写像で引き戻して群構造が入る。
11-27-10.gif


11-27-18.gif
という積が入り、
この積に関して群を成す。これをHeisenberg群(ハイゼンベルグ群)と呼ぶ。

長くなってしまったが群構造を入れるとこまではそれほど難しくなかった。
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■■■Heisenberg群 Part1
2007/11/27 Tueテータ関数
新しいセクションHeisenberg群に入って行くことにする。
群論の知識もほとんどなく本でも細部までは立ち入ってないようなので、
自分のわかる範囲で読むことに決めた。

V を整関数全体のなす複素数体上のベクトル空間とする。

ベクトル空間 V の自己同型群を
11-27-1.gif
で表すことにする。
11-27-2.gif
を固定しておく。

実数 a , b に対して次の写像を考える。

11-27-3.gif


するとまず
11-27-4.gif
であることはすぐにわかる。

さらにこの写像の合成を考えると、
11-27-5.gif

であることも計算ですぐにわかる。

次に11-27-6.gif11-27-7.gifが可換であるかどうかを見てやるのだが、
これも計算によって

11-27-8.gif

であること、つまり可換ではないことが示される。

ここまでは定義に従って計算すればいいので何も問題はない。

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■■■指標つきテータ関数で基底を与えるPart3
2007/11/26 Monテータ関数
苦しんだ指標つきテータ関数である性質を持つ整関数のベクトル空間
の基底を与えてやる定理の最後。

最後は今までのステップのまとめみたいなもの。l 二乗個のテータ関数

11-26-1.gif

を記号が煩雑になるのを避けるために
11-26-2.gif

と置いてやる。

11-26-3.gif

即ち、
11-26-4.gif

とする。Step2と2-2で i を固定してやって j を動かしたときは一次独立であることを示した。
つまり、
11-26-5.gif
が成り立つ。
さらに、
11-26-6.gif
と置く。すると条件は

11-26-7.gif

と書き換えられるが、Step1で証明したとおり i を動かしてやったときの一次独立性から
任意の i について
11-26-9.gif

であることがわかる。

従って一次独立であることが示されて証明終了。

次はHeisenberg群という群が出てくる。群論の知識がほとんどない僕に読めるんだろうか?
まぁ、とりあえず読めるとこまでは読むとしよ。


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■■■息抜き・・・
2007/11/25 Sun雑記
3連休も今日で最後・・・。

う~ん、3連休だったのに、まったく遊べなかった・・・。

僕は他大学から今の大学院に進学して、さらに学部時代は数学科ではなかったので
今、学部生と一緒に必要な授業を受けていてそちらがけっこう忙しい。

数学の勉強も嫌いではないけども、適度に息抜きが出来ないと、やらされて数学を
勉強している気分になってしまう。

勉強するのに「やらされる」っていう感覚は一番いけないと思う。

何か家でも出来る息抜き方法あったら教えてください~。

やっぱり、遊ぶのが一番~~!!

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■■■指標つきテータ関数で基底を与えるPart2-2
2007/11/24 Satテータ関数
指標つきテータ関数を級数の形に表して標準基底に対応する級数で
表してやると係数が l とびに l 個出てくるところまでわかった。

出てくる係数 l 個を並べたベクトルを考えてやる。(実際は l の二乗の数ベクトル空間の元だが
出てくる l 個の係数以外は 0 になっているので適当に並べ替えて l 次元ベクトル空間の元と
同一視してやってよい。)

11-22-4.gif
であったから、
11-24-1.gif
のとき
11-24-2.gif
の展開の係数
11-24-4.gif
を並べると
11-24-3.gif
である。
11-24-5-1.gif
のときの展開係数を並べると
11-24-6.gif
となり同様にしてベクトル
11-24-7.gif
を得る。

このベクトル
11-24-8.gif
が一次独立であることを示してやればよい。
ここで
11-24-9.gif
と置いてやると
11-24-11.gif
となることがわかる。
ここで11-24-12.gif
は 1 の原始 l 乗根である。
11-24-10.gif
を並べた行列の行列式は
Vandermondeの行列式であり 0 でないので1次独立性が示される。

2ndステップはここまで。教科書ではここで証明が終わっているがもう1ステップ必要。
(それぞれのキャラクタ l 個については言ったが全ての一次独立性はまだ言っていない。)


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■■■指標つきテータ関数で基底を与えるPart2
2007/11/22 Thuテータ関数
指標つきテータ関数で基底を与えてやる証明の2nd step

この前は l 個のキャラクタ
11-22-1.gif
を動かして(もう一つのキャラクタについてはまだ何も述べていない)
その l 個に対して一次独立性を示しました。

次はキャラクタ
11-22-1.gif
を固定してやってもう一つのキャラクタ
11-22-2.gif
を動かしてその一次独立性を示してやる。つまり、
11-22-3.gif
の l 個が一次独立であることを示す。

まず、
11-22-2.gif

11-22-6.gif
の完全代表系であるから
11-22-4.gif
と仮定してよい。

11-22-5.gif
である。

11-22-7.gif
であるから、こいつを前回の標準基底に対応する級数で表してやると、係数が l とびに l 個出てくることがわかる。(実際に書き表してやるとわかると思います)

この後、その出てくる係数を並べて適当に正規化してやってVandermondeの行列式に帰着させて
一次独立性を示してやります。一つの記事にすると長いので次回はそこから書こう。
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■■■大翔さんのブログ数学っておもしろい!?
2007/11/21 Wed数学
相互リンクさせていただいているブログ「数学っておもしろい!?」の記事は
すごく面白いです。

大翔さんという方が日常に潜む数学ということをテーマに書かれているブログなのですが
本当にちょっとしたことの中にある数学を簡単に書かれています。

僕もへぇ~~って思うばかりでこんなブログが書けたらなと思います。

雑学としても面白いですし、専門的な知識も要りません。
わからなくてもそうなんだ~こんなところに数学が
あるんだってことを感じられますので是非読んでみてください。

大翔さんのブログ数学っておもしろい!?

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■■■就職活動であわただしくなってきました
2007/11/20 Tue雑記
今日はテータ関数はお休み。(←なかなか思うように進められてないだけ)

最近は就職活動を始まってきて何かと忙しい。(←言い訳)

僕は学部時代工学部だったのでそれを生かした就職先を探して見当も大体付いてるのですが

学部時代も数学科の学生は結構何がやりたいのか見つからなくて悩んでいる人も多い。

確かに、数学を直接使う職業はなかなかないですし、実験などの経験が極端に少なくて

プレゼンとか面接とかどうして言いかわからないって人もいるようです。


僕も、学部時代は就職活動はしなかったので、企業の面接がどういうものかは
わからないですが、実験とかプレゼンとかの経験はあるのでそういう感じにはなっていない。

もちろん外国で働く!っていうモチベーションの高い人もいます^^

ここに来てくれる方はどんな感じなんでしょ?

ここを見てくれる方は学生の方が多いみたいなので、こんな職業やってみたい!とか
早いうちに決まってるのかな。ぎりぎりまで悩んでかな。

皆さんはどうでしょうか~?
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■■■指標つきテータ関数で基底を与えるPart1
2007/11/19 Monテータ関数
さてさて、まず初めの山場である
11-19-1.gif
の基底を指標つきテータ関数で与えてやるところについて。

命題として与えると次のようになる。
11-19-2-1.gif
を2組の
11-19-3-1.gif
の完全代表系とすると
11-19-4.gif
はベクトル空間
11-19-1.gif
の基底となる。

証明はなかなかハード。3つのステップに分けて証明する。今日はまず、1stステップ。

証明を見る前に以前、指標つきテータ関数に関して
11-19-5.gif
が成り立つことをやった。
この式からキャラクタを整数ずらす程度ならば基底変換行列は
ただの対角行列であるので整数で割った剰余類に関して代表系を
とる。

証明に入り、
11-19-4.gif
を級数の形に書いてやれば
11-19-8-1.gif
であり
11-19-7.gif
であることが前日の補題よりわかる。

一方、
11-19-8-2.gif
と展開できるので展開式を見比べてやれば
11-19-10.gif
であることがわかる。従って、
11-19-11.gif
となるキャラクタをもつテータ関数
11-19-12.gif
に自明でない1次関係式は存在しないことがわかる。(それぞれのテータ関数で0でない係数が出てくる場所がちがうから)

1stステップはここまで。落ち着いて考えればここは何とか乗り切れた。
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■■■やった!
2007/11/19 Mon未分類
100アクセス達成!!

見てくれたかたありがとうございます。

数式ばかりでなんじゃこりゃ?って思った方も多いのではないでしょうか?

ちなみに100アクセス目は自分で取っちゃいました><

なんか拍子抜け・・・。

これからもたま~に除いてやってください。
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■■■さむいなぁ~
2007/11/18 Sun雑記
最近はめっきりと寒くなってきました・・・。

小さいころから北国に住んでいるのに寒いのすごく苦手。

暑いのは大好きなんだけどなぁ。

でも、私の周りの人たちは暑いより寒いほうが平気!って人が多い。

皆さんはどちらでしょ?

冬は寒くなければすきなんだけどなぁ~~。クリスマス近くなるとイルミネーション
がきれいだったりとか、お正月にみんなでわいわいするのとか。

もうあと1ヶ月もすればクリスマスだ~。今年も僕は独り身だけど~~。

小さい子供とか幸せそうなカップルとかみて幸せな気分をもらっちゃお。

あっ!もしかして寒いのは気温のせいじゃないのか??
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■■■考えていたベクトル空間の次元
2007/11/17 Satテータ関数
昨日は忙しくて更新できなくて残念・・・。今日からまた自分のペースでがんばっていこう。

さて、今日もテータ関数の話の続きを書こう。

前回の記事の補題で
11-17-1.gif
と展開できて、
11-17-2.gif
であることまで何とかわかった。この条件から、右辺の級数の係数
11-17-4.gif

11-17-11.gif
となる i について自由に選んでやることが出来るということがわかる。

つまり右辺の級数で線型独立なものが
11-17-5.gif
個取れるわけだから、
11-17-6.gif
であることがわかる。

次元が定まる(基底を定める)ということは
11-17-7.gif
というベクトル空間の同型写像を与えることと同じだから
11-17-8.gif
の標準基底に対応する右辺の級数は
11-17-10.gif
である。

最後の標準基底に対応する級数がどんなものかというのは見えている人には当たり前なの
かも知れないが、こういうところを曖昧なまま進むとだんだんと議論が見えにくくなっていってしまうと思って求めてみた。

この後はついに指標つきテータ関数で基底を与えるところで大きな山場。大分苦しんでます・・・。
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■■■~コメントをくれた方へ~
2007/11/15 Thuコメント感謝
コメントくれた方、ありがとうございました。
すごく嬉しかったです。またコメントいただけるようにがんばろうと思いました。

            ミキティ様

このブログの初コメントしてくれてありがとうございます。
ミキティさんのブログ楽しく読ませてもらってます。
女の子らしい可愛らしさいっぱいのブログですね。
このブログも数学以外の記事、日記とかも増やしていこうと思っているので
よければまた遊びにいらしてください。

ミキティさんのブログ pre pre pretty

            comc様

コメントありがとうございます。
私も初めてテータ関数をきちんと勉強するので梅村先生の本は読んでいてなかなか
楽しいです。
数式は、はじめWordで作ったのですが、気に入らずTeXにしました。
数式がきれいに印字されているとコメントをいただき、TeXにしてよかったと思いました。
間違いやお気づきの点がありましたら、ビシバシと指摘していただけると嬉しいです。

            おここ様

コメントありがとうございます。
私も実は学部時代は工学部でした。専門の勉強もしながら、
毎日図書館で数学の勉強をされているなんて感心です。
おここさんの勉強した中で面白かったり、感心したり興味深かった本など
是非、教えてください。

おここさんのブログ 大学生だらだら日記

コメントくださった方本当にありがとうございます。
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■■■埋まっていなかった行間1~概要~
2007/11/14 Wedテータ関数
周期 l の周期関数がFourier展開できるというところの大まかな流れ。
記号は今までのテータ関数の記事のものと同じ記号を使うことにして、
11-14-2.gif
に対して以下のような対応(写像)を考える。
11-14-1-1.gif
すると、この対応による複素数全体の像は
11-14-3.gif
である。

ここがこの議論で核となる部分であるのだが、このとき
11-14-4.gif
このFを f を使って構成してやるのだがそこで f の周期性が効いてくる。
議論に戻って、このF(ζ)をζ = 0 でLaurent展開すると

11-14-5.gif
となるので、この式から

11-14-6_20071114214659.gif
が得られ、これが f のFourier展開というわけだ。

級数の収束性はLaurent展開の話で済んでしまっているし、複素関数のほうが
実関数の話よりとてもきれいに話が進んでいて複素関数の世界の美しさがすごく
よく現れていると感嘆しました。


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■■■びっくり!
2007/11/13 Tue雑記
今日カウンタを見てびっくり!!

昨日まで訪問者が7~8人だったのに今日一気に20人!!

嬉しかった~~。

でも、きっと数式いっぱいで目が痛くなっちゃうだろうなぁ。

記事の内容もコメント残しづらいだろうし・・・。

雑記や日記とかももっと増やして、足跡残してもらえるようにしないとな!

あと、数学がらみでもへぇって思ってもらえるお話的なものとか

大学初年度生や自習する人のために数学入門講座とかもやってみたいなぁ。

訪問してくれた方ありがとうございます。
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■■■ある性質を満たす整関数の成すベクトル空間の基底について2
2007/11/12 Monテータ関数
昨日の続き。

つまづいているのは次の補題。

整関数に関する次の条件は同値。

11-12-1.gif
ただし、
11-12-2.gif


(i)⇒(ii)の証明の冒頭で昨日紹介した補題より、
11-12-3.gif
であるので、
11-12-4.gif
とFourier展開出来ると書いてあるのだがこの行間が埋まらない。

これを認めてしまえばあとはテクニカルな部分はあれど形式的な計算
で証明できる。というかこれがあるから形式的な計算で証明が済んでしまう。

周期 l の周期関数が上の形の収束する級数で書けることは自明でなく、
困っていたのだがアールフォールスの複素解析の本に書いてある模様。

まだ、読んでいないのだが、Fourier展開といっても
どうやらLaurent展開の話に帰着されるようだ。

読んで理解したらまたここに書くことにしてとりあえず認めて先に進む。

(ii)⇒(i)は上の形の級数に展開されると仮定したとき右辺の級数が収束すること
くらいは言っておいたほうがいいだろうがこれは係数の条件から係数は有限個の値
しか取らないわけだからその最大値をとれば、あとはテータ関数の収束性の証明とほぼ同様。

後は(i)⇒(ii)の計算を逆にたどればよいので(ii)⇒(i)の証明はさほど難しくない。
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■■■ある性質を満たす整関数の成す空間の基底について1
2007/11/11 Sunテータ関数
さて、指標つきテータ関数を用いてある性質を満たす整関数が満たす空間
の基底を与えてやるところに入っていこう。

11-11-5.gif
を固定する。
11-11-6.gif
を整関数とする。
次の整関数の成す空間を考える。
11-11-7.gif
この空間は複素数体上のベクトル空間を成すのだが、
このベクトル空間の基底を指標つきのテータ関数で与えようというのが最初の目標。
まず、次の三条件が同値であることがわかる。
11-11-8.gif

証明は簡単。(i)⇒(ii)⇒(iii)は順に条件がゆるくなっているので明らか。
逆も数学的帰納法ですぐに証明できる。

ここまでは比較的容易に読み進められたのだがこの次の補題でつまづく・・・。
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■■■復習その2
2007/11/11 Sunテータ関数
昨日のテータ関数をもう少し一般化して指標つきテータ関数なるものがある。
定義はどのように与えられるかというと、
11-11-1.gif
に対して
11-11-2.gif
と定義する。
簡単な計算で具体的に級数で表示すると
11-11-3.gif
である。
これからこの指標つきテータ関数を相手にしていくのだが形式的な計算で
以下の公式が導かれる。
11-11-4.gif

この指標つきテータ関数である性質を満たす整関数全体の空間の基底を与えて
やることを目標にやっているのだがつまづいている・・・。

どこでつまづいているかはまた後で・・・。
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■■■復習!
2007/11/10 Satテータ関数
風邪で調子悪い・・・。
数式をきれいに表示する方法はとりあえず画像として埋め込むのが
よさそうなのでそうすることにしよう。
復習もかねて数式入りで書いてみよう。
C.gif
を複素数全体,
uehanheimen.gif
を上半平面とする。
exp.gif
と置くことにする。
direct1.gif
に対して次の級数を
考える。
thetafunction.gif
そうするとこの級数は
directproduct.gif
上絶対かつ広義一様に収束し、この上の正則関数となる。
これをテータ関数と呼ぶ。

収束性はさほど難しくないが後できちんとした証明をPDFかなんかでアップしようかな。

で、こいつがzにかんして周期1の周期関数でこの定義式はFourier展開と考えられると
言うことなんだが、複素関数のフーリエ展開ってあまり聞いたことがない。

フーリエ係数とかはもちろん線積分で定義されるのだろうが・・・。

明日は指標付きテータ関数でも書いてみよ


この本の第3章から読み始めました。楕円関数論―楕円曲線の解析学
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■■■少し・・・
2007/11/09 Fri数学
見に来てくれる人を増やさないと・・。

専門知識がない人に少し数学の世界を見てもらうのに

いい話とか数学入門講座みたいなのも初めてみようかなぁ。
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■■■大塚愛さんの
2007/11/09 Fri未分類
数学はお休みして、

大塚愛さんの「ポケット」という曲を聴いています。

大塚愛さんの曲は割りと好きで恋愛写真やポケットは
とても幸せないい曲だと思います。

なかなか大切な人には気持ちが伝えられなかったり
するものです。

誰か大切な人と聞いてみるのもいいかもしれないですね。

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■■■昨日は
2007/11/09 Fri未分類
なんだかネットが不調で一日中つながらず。

テータ関数の勉強もつまずく。

P93の周期 l (エル)の関数がフーリエ展開できるというところの行間が埋まらず・・・。
とりあえず、それは認めてP96の最初の部分まで読んだがそれ以降はさっぱり。

セミナーが月曜にあるのでちょっと困る。
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■■■コメントに
2007/11/07 Wed数学
コミュニティに参加してみませんかというコメントをいただいた。

まだ、ほとんど知られていないのでコメントに驚いた。


数学について意見の交換が出来れば自分の勉強にもなる。

後で、残されていたURLに訪ねてみよう。
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■■■指標つきテータ関数
2007/11/06 Tueテータ関数
指標つきテータ関数のところまで読み進める。

ここまでは収束性以外は形式的な計算で出る公式程度だから

そんなに難しくない。

問題はここからみたい。

ある性質を満たす整関数全体が成すベクトル空間の基底を

指標つきテータ関数で与えることを目標にやっているのだが

なかなか難しい。
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■■■テータ関数って?
2007/11/05 Monテータ関数
名前は聞いたことがあったのだが、実際に勉強してみるのは

初めて。まだ、ブログに数式を書く方法を調べていないのだが

テータ関数の式を見てみると結構面白そう。

複素平面と上半平面の直積上の関数でθ(z,τ)と表されてzに関しては

周期1の周期関数でそのFourier展開と考えられるわけか。

収束も絶対かつ広義一様にしてる。

ふむふむ。後ろのほうを少しだけ見てみると指標つきなるテータ関数
もあるのか。

なかなかに難しそう。ゆっくり理解していこ。

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■■■ブログ開設
2007/11/05 Mon未分類
とりあえず、ブログ開設。
今、読んでいる数学の本や日々の出来事などを書いてみよ。

今は梅村浩先生が書いた楕円関数論の本の第三章を読んでいる。

ひとまず、テータ関数を用いて複素トーラスを射影空間に埋め込むことが目標。

数学苦手っていう人が見て、少しでも興味を持ってもらえるような数学の話題とかも

探してみたいな。
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