数学関連の話題や日々の出来事で思ったことを日記につづってみる。
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Jacobiの微分公式
2008/05/23
Jacobiの微分公式
2008/05/11
Jacobiの微分公式
2008/04/27
取りこぼしていたセクション
2008/04/21
複素トーラスの射影空間内での定義方程式
2008/04/13
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■■■Jacobiの微分公式
2008/05/23 Friテータ関数
久しぶりの更新。間隔があいてしまって申し訳ないです。

さて、前回の続き。定数が何かを決定してやるわけですが

良くやる手法の一つで τ に関して極限を取ってやります。今回は τ を 虚軸にそって無限に
飛ばしてやります。

5-18-1.gif とすると、

5-18-2.gif

となる。従って

5-18-3.gif

である。同様に、

5-18-4.gif

であることがわかる。

さらに
5-18-5.gif

であるから

5-18-6.gif

である。従って

5-18-7.gif

であり、同様にして

5-18-10.gif


がわかり定数が決定され定理の公式を得る。
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■■■Jacobiの微分公式
2008/05/11 Sunテータ関数
なかなか余裕がなく更新の間隔があいてしまいました。

Jacobiの微分公式の証明に入っていこう思います。

5-3-1.gif が偶関数か奇関数かに注意して 5-3-2.gif でTaylor展開し、Riemannのテータ関係式 (R 17) に代入する。この時

5-3-3.gif
であることに注意して

5-3-4.gif

を代入すると

5-3-5-1.gif


を得る。ここで両辺の 5-3-6.gif の係数を比較すると

5-3-7.gif


となる。5-3-2.gif4-20-7.gif の1位の零点であるから

5-3-9.gif であるから両辺を 5-3-8.gif で割ってやって移項すると

5-3-12.gif

を得る。ここで補題で示した熱方程式より

5-3-10.gif

である。これはτの関数として

5-3-11.gif

が定数関数であることを示している。

後はこの定数が何かを決定してやればいいわけです。

今、少し余裕がないので次の更新はまた遅くなってしまうかも知れませんが
次はこの定数が何かを決定して証明を終えます。
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■■■Jacobiの微分公式
2008/04/27 Sunテータ関数
複素トーラスとは一旦離れて、テータ関数の公式を証明していきます。

4-27-1.gif

でした。また、

4-27-2.gif

で複素トーラスの定義方程式を表すことができました。

テータコンスタントにはこういった重要な性質があるのです。
もう一つテータコンスタントの公式として

4-27-3.gif

4-27-4.gif

という関係が成り立ちます。これをJacobiの微分公式と呼びます。

この公式をこれから証明していくのですがその前に一つ補題を。

4-27-5.gif

4-27-6-1.gif

が成り立つ。すなわちテータ関数は熱方程式を満たす。

証明は、厳密には項別微分ができることを示さなければならないのですが
まぁ、ここでは形式的に項別微分をすることにします。

4-27-7.gif

であるから、

4-27-8.gif

となる。

一方で

4-27-9.gif

であるから比較すると補題の主張を得る。

次回からはJacobiの微分公式の証明をしていこうと思っています。
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■■■取りこぼしていたセクション
2008/04/21 Monテータ関数
新しいセクションに入っていく前にとりこぼしていた所をやってしまいます。

4-20-1.gif

は z に関して偶関数である。証明は定義式から計算してやればすぐに出てきます。

4-20-2.gif とおくと

4-20-3.gif

である。従って

4-20-4.gif

が成り立つ。同様にして

4-20-5.gif


4-20-6.gif

が導かれる。右辺の級数の収束も特に難しいところはない。

4-20-7.gif に関しては z=0は零点なので微分したテータコンスタントを考えます。

4-20-8.gif

となります。
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■■■複素トーラスの射影空間内での定義方程式
2008/04/13 Sunテータ関数
前々回、

4-13-1.gif

であることを示した。

4-13-2.gif

であることを示す。今、

4-13-3.gif

(真に含まれている)と仮定する。ここで次の定理を認めることにする。

4-13-4.gif

4-13-4-1.gif を射影平面内の 4-13-4-2.gif の曲線とする。この時この曲線は
(接点や特異点での重複度を適切に数えれば)4-13-4-3.gif 個の点で交わる。

さて、4-6-8.gif 内の超平面

4-13-6.gif

を考えると

4-13-8.gif

となる。どうしてかというと、超平面といっても射影平面と同一視できるので

4-13-4-1.gif

を射影平面に制限したと考えベズーの定理を適用してやれば4次曲線であることがわかる。

今、4-13-3.gif と仮定しているからある曲線 4-13-5.gif が存在して

4-13-7.gif

とかける。ここで

4-13-9.gif

であるから、この関数は周期平行四辺形内で 4個の零点を持つ。従って

4-13-10.gif

であるから
4-13-11.gif

これは、 4-13-3.gif に矛盾する。

重複度や次数の定義に触れていないのでなかなか難しいと思います。
超平面で切って考えているので射影平面の曲線の話になります。
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