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■■■Jacobiの微分公式
2008/04/27 Sunテータ関数
複素トーラスとは一旦離れて、テータ関数の公式を証明していきます。

4-27-1.gif

でした。また、

4-27-2.gif

で複素トーラスの定義方程式を表すことができました。

テータコンスタントにはこういった重要な性質があるのです。
もう一つテータコンスタントの公式として

4-27-3.gif

4-27-4.gif

という関係が成り立ちます。これをJacobiの微分公式と呼びます。

この公式をこれから証明していくのですがその前に一つ補題を。

4-27-5.gif

4-27-6-1.gif

が成り立つ。すなわちテータ関数は熱方程式を満たす。

証明は、厳密には項別微分ができることを示さなければならないのですが
まぁ、ここでは形式的に項別微分をすることにします。

4-27-7.gif

であるから、

4-27-8.gif

となる。

一方で

4-27-9.gif

であるから比較すると補題の主張を得る。

次回からはJacobiの微分公式の証明をしていこうと思っています。
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熱方程式
こんにちは。

> テータ関数は熱方程式を満たす
これは、τにかかっているのがnの2乗で、zにかかっているのがnの1乗だから、まあ当たり前といえば当たり前なんでしょうけど、「熱方程式を満たす」と改めて言われると(物理出身の私としては)ビクッとしますね。
τ微分の前に虚数がかかっているので、熱方程式といわれるよりもシュレーディンガー方程式といわれたほうが、物理屋としてはしっくりくるような気がしますけど。

ところで、
> テータ関数は周期 1 の周期関数のフーリエ展開であるので熱方程式を満たすことは予想される結果
とありますが、これはどのようなことを言おうとしたのでしょうか。つまり、「周期関数のフーリエ展開である」ことと、「熱方程式を満たすこと」が、どのようにつながるのか、ちょっと疑問に思ったのです。少なくとも、その周期性が、τ依存性とうまい関係になっていないと、熱方程式を満たすようにはならないような気がするのですが。
2008/04/28 Mon URLcomc#DCRYhM76 [ 編集 ]
comcさん、コメント、ご指摘ありがとうございます!

物理屋の方だったのですね。

ご指摘の件ですが、フーリエの方法などと
僕の勘違いが重なった間違えでした。

学校でPDE関連を専門としている友達と話をしたのですが
comcさんの言うとおり、少なくともτとの関係と周期性とがうまく絡んでないと、
周期 1 のフーリエ展開と言うところからはすぐには言えそうにないということでした。

該当部分は削除しておきました。

2008/04/30 Wed URLFarcon#- [ 編集 ]

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自分用メモに近いかな。

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